eigenvector의 orthogonality

mathematical summary for digital signal processing applications with matlab를 통해서 공부를 하고있는데, 이 책이 문제가 많다(...)

오타도 많고, 잘못된 그림도 있고 무튼 이걸 통해서 처음 공부하는 입장에서는 매우매우 막막하다.

특히, 1.20의 내용이 정말 막장인데 여기서는 고유벡터들로 이루어진 M이 그냥 직교한다라고 써버렸다.

정확하게 하려면!

에르미트 행렬 A로 부터 나온 고유벡터들이 서로 직교한다. (심지어 orthonormal이려면 normalization을 해줘야한다.)

증명은 의 각각의 고유벡터인 를 생각하여 를 두 개의 고유값이 각각나오도록 식 두 개로 정리하면 할 수 있다.

혹시나 해서 MATLAB을 이용해서 일반적인 행렬의 고유벡터들이 직교하는지 알아봤다.

M = rand(5,5);

[V, D] = eig(M);

V' * V

S = M + M';

[Vs, Ds] = eig(S);

Vs' * Vs

일반적인 행렬 M을 이용해 대칭행렬(real인 부분에서는 이것만으로도 에르미트 행렬이다.)을 만들었고,

eig함수를 이용해서 eigenvector가 column vector인 행렬 V, Vs를 얻어 계산시켰다.

맨 아래의 Vs' * Vs는 I가 나오는 반면 위는 그렇지 못했다.

결론: 일반적인 행렬의 고유벡터들은 서로 직교하지 않을 수 있다.