Fourier Transform의 유도 - Vector space를 이용

이전부터 계속 궁금했었던 푸리에 변환의 근원에 대해서 드디어 배웠다.

알고나니 참 별거아니다 싶었는데 다시 하려니 손이 잘 안움직인다.

1. 먼저 x(t)라는 time domain 연속 신호를 생각하자.

가장 중요한 가정으로 이 신호가 의 합으로 나타나진다고 가정하는 것이다.

이는 k/T Hz의 단일 주파수 신호들의 합이라고도 생각할 수 있다.

2. 위의 가정에 의해서 신호 x(t)는 다음처럼 나타진다. (basis expansion)

위의 들을 모두 벡터공간의 원소들이라 생각할 수 있다.

3. x(t), y(t)가 주기 T를 가지는 신호라고 할 때, 내적은 다음과 같다.

4. 벡터 공간의 원소 두 개를 내적해보자.

k와 l이 같지 않으면 복소공간의 원을 한바퀴 다 채워서 0이 된다고 생각해도 되고, 직접 연산을 해봐도 알 수 있다.

만약 k와 l이 같다면 식 자체가 1이 되기 때문에 적분하면 T가 됨을 알 수 있다.

5. 신호 x(t)와 벡터공간의 l원소와 내적해보자. 벡터의 선형성을 이용하면 다음과 같이 전개 할 수 있다.

그러므로, 인덱스만 바꿔서 생각해보면

FT가 완성되었다!

**가 basis임을 이용한 것으로, 실제로 푸리에가 살았을 당시에는 저게 basis임을 증명하지는 못했다 카더라.

뒤에 디리클레라는 분이 나타나서 증명했다라고 알고있다.

이 이외의 신호처리에서 중요한 나머지 세가지 푸리에변환도 이와 같이 유도해 낼 수 있다.